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行列式和特征值



  1. #1
    christophe_de_柏林

    行列式和特征值


    ------

    bonjour,

    我在本征值和行列式的课程中存在一些模棱两可的地方:"通常,行列式是所有特征值的乘积".

    对我有好处,只有在矩阵可对角线化时才清楚。在这种情况下,对角矩阵也是三角形的(上下),因此行列式是对角元素的乘积,而对角元素正是本征值。

    但是这种平等在一般情况下是真的吗?在我看来似乎不是,但是我的课程还不清楚

    Merci d´avance

    Christophe

    -----

  2. 宣传性
  3. #2
    克朗

    回复:行列式和特征值

    Bonsoir

    在我看来,如果您的矩阵不具有n个特征值,则确实会造成问题。 (例如,真实空间中真实矩阵的复杂特征值)
    否则我没有太多想法。
    生命是音乐!

  4. #3
    Ksilver

    回复:行列式和特征值

    这是正确的,但前提是基场是代数封闭的。

    为了证明这一点,您可以三角化而不是对角化,但是更简单:

    特征值是特征多项式的根,所以(有一些符号和主导系数的问题,我将根据您对特征多项式的定义让您检查),根的乘积是0中的值,即行列式!

  5. #4
    同态

    回复:行列式和特征值

    的确是正确的(如果我们将vp乘以空格的维数 这是很好定义的,因为如果特征多项式(或最小值,尽管等价不是立即的)是分裂的,则此序列从某个n(取决于f和vp)停滞。身体。因此,在代数封闭的领域(例如C)中,它始终是正确的。
    Contre-exemple
    sur R : 不等于0的模 没有特征值,行列式等于1
    另一方面,在C上,vp: 该乘积确实等于1。
    初始括号的说明:
    接受一个唯一的vp 2,其相关本征空间的维数为1,det = 4 但是ker((M-2Id)²)=R²2的多重性等于2,我们可以很好地得到

  6. 观看有关Futura的视频
  7. #5
    christophe_de_柏林

    回复:行列式和特征值

    但是然后我问自己一个问题:如果矩阵没有特征值,那么它就没有行列式,这是荒谬的。

  8. #6
    威拉米特

    回复:行列式和特征值

    Salut,

    这是一个代数闭包的故事!

    令M为在字段K中具有系数的矩阵。
    它的特征多项式的阶数为n且在K [X]中。
    您总是可以将自己沉浸在代数闭包中(Steinitz定理,经许可),我们称其为L的K,其中任何多项式均被分解,您的特征值存在于L中。

    更明确地说,任何在R中具有系数的多项式都源于C。(D'Alembert定理)

    所以任何实矩阵NxN都有N个复特征值(有些可能相等)。
    行列式是这些特征值的乘积,并且总是被定义的。

    注意:特征值的存在不足以作为"diagonalisabilité" de la matrice

    编辑:
    实际上,要正确回答这个问题:"每个矩阵都有特征值,即使它们不一定属于矩阵系数的主体"

  9. 宣传性
  10. #7
    christophe_de_柏林

    回复:行列式和特征值

    引用 由...发送 威拉米特 查看留言
    你好
    更明确地说,任何在R中具有系数的多项式都源于C。(D'Alembert定理)

    所以任何实矩阵NxN都有N个复特征值(有些可能相等)。
    行列式是这些特征值的乘积,并且总是被定义的。

    EDIT :
    实际上,要正确回答这个问题:"每个矩阵都有特征值,即使它们不一定属于矩阵系数的主体"
    坦率地说,感谢您的回答,有些答案还没有达到我的水平,因为我现在是数学和代数封闭领域的二年级学生,我不知道这是什么。

    但是在您的回答中,有些东西吸引了我。这是否意味着像您所说的具有N个复杂特征值的实矩阵可以具有复杂的行列式?

    另一方面,具体来说,这对我来说是exo,要求我根据适当的值表示det。身体是C,其他学生没有动脑筋,他们写道det是所有特征值的乘积。我不特别了解同态,我们只知道u(x)的范数<= x的范数,行列式为1.在前面的问题中,我们证明了所有本征值都是模数1。

    您在R中写的关于本征值的内容,我们也可以在C中说出来吗?

    Merci d´avance

  11. #8
    christophe_de_柏林

    回复:行列式和特征值

    引用 由...发送 christophe_de_柏林 查看留言
    但是在您的回答中,有些东西吸引了我。这是否意味着像您所说的具有N个复杂特征值的实矩阵可以具有复杂的行列式?
    呃...我想我可以回答我自己的问题:如果复数z是实矩阵的特征值,那么它的共轭也是特征值,因此它们的乘积是实数。而已?

  12. #9
    同态

    回复:行列式和特征值

    引用 由...发送 christophe_de_柏林 查看留言
    呃...我想我可以回答我自己的问题:如果复数z是实矩阵的特征值,那么它的共轭也是特征值,因此它们的乘积是实数。而已?
    是一种查看方式,是的。否则,由于行列式总是可以直接用矩阵的系数来计算,因此如果矩阵是实数则是实数。

  13. #10
    克朗

    回复:行列式和特征值

    通过阅读一些帖子来解决子问题:
    当行列式不是ev基体的一部分时会发生什么?
    生命是音乐!

  14. #11
    同态

    回复:行列式和特征值

    引用 由...发送 克朗 查看留言
    通过阅读一些帖子来解决子问题:
    当行列式不是ev基体的一部分时会发生什么?
    参见我以前的文章,行列式的值始终在ev的基体中。

  15. #12
    克朗

    回复:行列式和特征值

    引用 由...发送 同态 查看留言
    参见我以前的文章,行列式的值始终在ev的基体中。
    Erf,小伙子
    我没有花足够的时间思考。
    Merci bien !
    生命是音乐!

  16. 宣传性

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